SPLDV adalah suatu sistem persamaan atau bentuk relasi sama dengan dalam bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan berpangkat satu dan apabila digambarkan dalam sebuah grafik maka akan membentuk garis lurus. Dan karena hal ini lah maka persamaan ini di sebut dengan persamaan linier.
Ciri – Ciri SPLDV
Menggunakan relasi tanda sama dengan ( = )
Memiliki dua variabel
Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu ( berpangkat satu )
Hal – hal Yang Berhubungan Dengan SPLDV
a. Suku
Suku yaitu bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Dan setiap suku di pisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan
Contoh :
6x – y + 4 , maka suku – suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y dan 4
b. Variabel
Variabel , yaitu peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y.
Contoh :
Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk.
Jika dituliskan dalam bentuk persamaan adalah
Nanas = x
Jeruk = y
Persamannya adalah 2x + 5y
c. Koefisien
Koefisien yaitu suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel
Contoh :
Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk. Jika di tulis dalam bentuk persamaan adalah :
Jawab :
Nanas = x dan Jeruk = y
Persamannya adalah 2x + 5y
Dimana 2 dan 5 adalah koefisien. Dan 2 adalah koefisien x dan 5 adalah koefisien y
d. Konstanta
Konstanta yaitu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, maka nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai perubahnya
Contoh :
2x + 5y + 7 , dari persamaan tersebut konstanta adalah 7 , karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya
Itulah beberapa hal yang berhubungan tentang bentuk umum spldv untuk kita pahami sebelum kita memahami tentang rumus spldv.
Syarat Sistem Persamaan Linier Dua Variabel dapat memiliki satu penyelesaian, yaitu :
Ada lebih dari satu atau ada dua persamaan linier dua variabel sejenis
Persamaan linier dua variabel yang membentuk sistem persamaan linier dua variabel, bukan persamaan linier dua variabel yang sama
Jadi kedua syarat ini wajib bisa terpenuhi sebelum kita menghitung persamaan linier dua variabel.
Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
1. Metode Grafik
Langkah – langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik:
Langkah Pertama :
Tentukan nilai koordinat titik potong masing-masing persamaan terhadap sumbu-X dan juga sumbu-Y
Gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius
Langkah Kedua :
Jika kedua garis pada grafik berpotongan pada satu titik, maka himpunan penyelesaiannya memiliki satu anggota.
Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota. Maka dapat dikatakan himpunan penyelesaiannya ialah himpunan kosong, dan dapat ditulis ∅.
Jika kedua garis saling berhimpit, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai anggota yang tak terhingga
Dari penjelasan kedua langkah diatas maka banyak anggota dari himpunan spldv sebagai berikut :
a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2
Contoh Soal SPLDV Metode
Grafik
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini :
Persamaan 1 : x + y = 5 Persamaan 2 : x − y = 1
Penyelesaian :
Langkah Pertama : Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y
Titik Potong untuk Persamaan 1 yaitu x + y = 5
Menentukan titik potong sumbu-x maka syaratnya y = 0 x + y = 5 x + 0 = 5 x = 5
Maka titik potongnya ( 5 , 0 )
Menentukan titik potong sumbu-y maka syaratnya x = 0
x + y = 5
0 + y = 5
y = 5
Maka titik potong nya ( 0 , 5 )
Titik Potong untuk Persamaan 2 yaitu x – y = 1
Menentukan titik potong sumbu-x maka syaratnya y = 0 x – y = 1 x – 0 = 1 x = 1
Maka titik potong nya( 1 , 0 )
Menentukan titik potong sumbu-y maka syaratnya x = 0 x – y = 1 0 – y = 1 y = -1
Maka titik potong nya ( 0 , -1 )
Dilihat dari gambar grafik di atas, maka titik potong dari kedua grafik diatas adalah di titik (3 , 2).
Maka hasil dari Himpunan Penyelesaian adalah { 3 , 2 }.
2. Metode Substitusi atau Metode Mengganti
yaitu metode menyelesaikan SPLDV dengan mengganti salah satu peubah atau variabel.
Langkah – langkah untuk menyelesaikanspldv menggunakan metodeSubstitusi :
1. Ubahlah salah satu dari persamaan menjadi bentuk x = cy + d atau y = ax + b
* a, b, c, dan d adalah nilai yang ada pada persamaan
* Triknya kalian harus mencari dari 2 persamaan carilah salah satu persamaan yang termudah
2. Setelah mendapatkan persamaannya substitusi kan nilai x atau y
3. Selesaikan persamaan sehingga mendapatkan nilai x ataupun y
4. Dapatkan nilai variabel yang belum diketahui dengan hasil langkah sebelumnya.
Contoh Soal SPLDV dengan Metode Substitusi
1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30
Penyelesaian :
Diketahui :
Persamaan Pertama = x + 3y = 15
Persamaan Kedua = 3x + 6y = 30
Langkah Pertama :Ubah salah satu persamaan, carilah yang termudah
x + 3y = 15 —> x = -3y + 15
Langkah Kedua :Subsititusi nilai x = -3y + 15 ke dalam persamaan kedua untuk mencari nilai y , maka hasilnya sebagai berikut :
Langkah Ketiga : Selanjutnya untuk mencari nilai x maka, gunakan salah satu persamaan boleh persamaan pertama atau kedua :
Dari Persamaan Kedua :
3x + 6y = 30
3x + 6 ( 5 ) = 30
3x + 30 = 30
3x = 0
x = 0
Langkah Keempat : Maka nilai Jadi HP = { 0 , 5 }
3. Metode Eliminasi atau Metode Menghilangkan
adalah Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu peubah (variabel) dengan menyamakan koefisien dari persamaan tersebut.
Cara untuk menghilangkan salah satu peubahnya yaitu dengan cara perhatikan tandanya, apabila tandanya sama [(+) dengan (+) atau (-) dengan (-) ] , maka untuk mengeliminasinya dengan cara mengurangkan. Dan sebaliknya apabila tandanya berbeda maka gunakanlah sistem penjumlahan.
Contoh Soal SPLDV Eliminasi 1
1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30
Langkah Pertama :yaitu menentukan variabel mana yang akan di eliminasi terlebih dahulu. Kali ini kita akan menghilangkan x terlebih dahulu, dan supaya kita temukan nilai y. Caranya yaitu :
Eliminasi antara persamaan (3) dengan (4 ), yang hasilnya menjadi :
3x + 6y = 30 2x + 6y = 30 _ x = 0
Maka, Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { 0 , 5 }
4. Metode Campuran (Eiminasi dan Substitusi) Atau Gabungan
yaitu suatu metode untuk menyelesaikan suatu persamaan linier dengan mengunakan dua metode yaitu metode eliminasi dan substitusi secara bersamaan.
Karena pada masing – masing metode mempunyai keunggulan masing – masing diantaranya ialah :
Metode Eliminasi mempunyai keunggulan baik di awal penyelesaian.
Metode substitusi mempunyai keunggulan baik diakhir penyelesaian.
Maka dengan menggabungkan ke-2 metode ini akan mempermudah dalam meneyelasikan spldv
Contoh Soal SPLDV Metode Gabungan
1. Diketahui persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30, dengan menggunakan metode campuran tentukanlah Himpunan penyelesaiannya !
Penyelesaian :
Diketahui :
Persamaan 1 = x + 3y = 15
Persamaan 2 = 3x + 6y = 30
Langkah Pertama Menggunakan Metode Eliminasi :
x + 3y = 15 | x3| <=> 3x +9x = 45
3x + 6y = 30 | x1| <=> 3x + 6y = 30 _
0 + 3y = 15
y = 5
Langkah Kedua Menggunakan Metode Substusi :
x + 3y = 15
x + 3.5 = 15
x + 15 = 15
x = 0
Jadi himpunan penyelesaian dari soal diatas adalah HP = { 0 , 5 }
Soal Cerita :
1.Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat uang Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang diperoleh adalah....
Pembahasan:
Misalkan: Mobil = x dan motor = y Ditanyakan: 20x + 30y = ....? Model matematika: 3x + 5y = 17.000 ......(1) 4x + 2y = 18.000 ......(2)
Jadi, biaya parkir 1 mobil Rp4.000,00 dan 1 motor Rp1.000,00 20x + 30y = 20(4.000) + 30(1.000) = 80.000 + 30.000 = 110.000
Jadi, banyak uang parkir yang diperoleh Rp. 110.000,00
2. Beni, Udin, dan Citra pergi ke toko buku “Cerdas”. Beni membeli 4 buku tulis dan 3 pensil dengan harga Rp 12.500,00 dan Udin membeli 2 buku tulis dan sebuah pensil dengan harga Rp 5.500,00 pada toko yang sama. Tentukan harga yang harus dibayar Citra jika ia membeli 6 buku tulis dan 2 pensil!
Penyelesaian:
Misalkan harga buku = x dan harga pensil = y.
Belajaan Beni akan memenuhi persamaan :4x + 3y = 12500
Belajaan Udin akan memenuhi persamaan :2x + y = 5500
Diperoleh SPLDV yakni:
4x + 3y = 12500 . . . . pers (1)
2x + y = 5500 . . . . pers (2)
Adapun metode yang akan dipilih dalam menyelesaikan SPLTV yakni metode subtitusi.
Langkah I
Ubah persamaan 2 yakni:
2x + y = 5500
y = 5500 – 2x . . . . pers (3)
Langkah II
Subtitusi persamaan 3 ke persamaan 1, maka:
4x + 3y = 12500
4x + 3(5500 – 2x) = 12500
4x + 16500 – 6x = 12500
– 2x = – 4000
x = 2000
Langkah III
Substitusi nilai x ke persamaan 3, maka:
y = 5500 – 2x
y = 5500 – 2(2000)
y = 5500 – 4000
y = 1500
Jadi harga sebuah buku tulis Rp 2.000,00 dan harga sebuah pensil Rp 1.500,00.
Langkah IV
Harga yang harus dibayar Citra yakni:
Harga = 6x + 2y
Harga = 6(2000) + 2(1500)
Harga = 12000 + 3000
Harga = 15.000
Jadi, harga total yang harus dibayar Citra adalah Rp 15.000,00
3. Sebuah rakit terbuat dari bambu yang bergerak searah arus sungai dapat menempuh jarak 46 km dalam 2 jam. Jika rakit tersebut bergerak berlawanan dengan arah arus sungai dapat menempuh jarak 51 km dalam 3 jam. Berapa kecepatan aliran air sungai dan kecepatan rakit?
Penyelesaian:
Misalkan kecepatan arus sungai = a , dan kecepatan rakit = b.
Jika bergerak searah arus sungai memenuhi persamaan:
a + b = 46/2 => a + b = 23
Jika bergerak berlawanan arah arus sungai memenuhi persamaan:
a – b = 51/3 => a – b = 17
Diperoleh SPLDV yakni:
a + b = 23 . . . . pers (1)
a – b = 17 . . . . pers (2)
Adapun metode yang akan dipilih dalam menyelesaikan SPLTV ini bisa menggunakan metode eliminasi.
Langkah I
Eliminasi b pada persamaan 1 dan 2 yakni:
a + b = 23
a – b = 17
------------- +
2a = 40
a = 20
Langkah II
Eliminasi a pada persamaan 1 dan 2 yakni:
a + b = 23
a – b = 17
------------- -
2b = 6
b = 3
Jadi, kecepatan aliran air sungai dan kecepatan rakit adalah 20 km/jam dan 3 km/jam.
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 untuk x, y ∈ R menggunakan metode grafik.
Penyelesaian
Pertama, kita tentukan titik potong masing-masing persamaan pada sumbu-X dan sumbu-Y
■x + 2y = 2
Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0
⇔ x + 2(0) = 2
⇔ x = 2
Titik potong (2, 0)
Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0
⇔ 0 + 2y = 2
⇔ 2y = 2
⇔ y = 1
Titik potong (0, 1)
■2x + 4y = 8
Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0
⇔ 2x + 4(0) = 8
⇔ 2x = 8
⇔ x = 4
Titik potong (4, 0)
Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0
⇔ 2(0) + 4y = 8
⇔ 4y = 8
⇔ y = 2
Titik potong (0, 2)
Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan di atas, tampak bahwa kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan karena keduanya sejajar. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 adalah himpunan kosong, ditulis {} atau {∅}.
Komentar
Posting Komentar